Quiz de géométrie : 10 énigmes pour tester votre logique

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Cercles qui se chevauchent, triangles inscrits, carrés coupés en morceaux : ce quiz de géométrie vous propose 10 énigmes en images, de plus en plus corsées. À chaque fois, il faut calculer une aire colorée ou retrouver le rayon d’un cercle à partir de quelques indices. Pas besoin de formules compliquées : le théorème de Pythagore, l’aire du disque et un peu de logique suffisent. Pour chaque question, choisissez parmi 4 propositions et découvrez l’explication détaillée du calcul. Saurez-vous trouver les 10 bonnes réponses ?

1. Les trois cercles ont un rayon de 1 cm, et A, O et B sont leurs centres. Quelle est l’aire de la zone colorée ?

√3 − π/3 ≈ 0,68 cm²

π/3 ≈ 1,05 cm²

2π/3 − √3/2 ≈ 1,23 cm²

π − √3 ≈ 1,41 cm²

Le cercle central a une aire de π × 1² = π cm². Il chevauche le cercle de gauche et celui de droite : chaque chevauchement forme une lentille, car chaque cercle passe par le centre de l’autre. L’aire d’une lentille vaut 2π/3 − √3/2 ≈ 1,23 cm². Les cercles de gauche et de droite se touchent seulement en O, donc les deux lentilles ne se recouvrent pas. Aire colorée = π − 2 × (2π/3 − √3/2) = √3 − π/3 ≈ 0,68 cm².

2. ABC est un triangle équilatéral de 1 cm de côté. Quelle est l’aire de la zone colorée, entre le grand cercle et le petit cercle ?

π/12 ≈ 0,26 cm²

π/4 ≈ 0,79 cm²

π/3 ≈ 1,05 cm²

π/2 ≈ 1,57 cm²

La zone colorée est une couronne : aire = π × (R² − r²), où R est le rayon du grand cercle et r celui du petit. Le rayon du grand cercle va du centre à un sommet (A ou B), et celui du petit cercle va du centre au milieu de AB. Avec la moitié de AB (0,5 cm), ces deux rayons forment un triangle rectangle : R² = r² + 0,5², donc R² − r² = 0,25. Aire = π × 0,25 = π/4 ≈ 0,79 cm².

3. Le rectangle ABCD mesure 4 de long et 3 de haut. Le cercle touche le côté AB et les deux diagonales. Combien vaut r ?

1/2

2/3

3/4

1

Les diagonales se croisent au centre M du rectangle, à 1,5 de hauteur. Le cercle est inscrit dans le triangle ABM : base AB = 4, hauteur 1,5, et AM = BM = √(2² + 1,5²) = √6,25 = 2,5. Aire du triangle = 4 × 1,5 ÷ 2 = 3. Demi-périmètre = (4 + 2,5 + 2,5) ÷ 2 = 4,5. Rayon du cercle inscrit = aire ÷ demi-périmètre = 3 ÷ 4,5 = 2/3.

4. O₁ et O₂ sont les centres des deux cercles, distants de 1 cm. Quelle est l’aire du rectangle coloré ?

1 cm²

2π/3 − √3/2 ≈ 1,23 cm²

√3 ≈ 1,73 cm²

2 cm²

Chaque cercle passe par le centre de l’autre : leur rayon vaut donc 1 cm. Le point P est à 1 cm de O₁ et de O₂ : le triangle O₁O₂P est équilatéral, et sa hauteur vaut √(1² − 0,5²) = √3/2. La hauteur du rectangle est PQ = 2 × √3/2 = √3, et sa largeur est O₁O₂ = 1 cm. Aire = 1 × √3 = √3 ≈ 1,73 cm².

5. ABCD est un carré, E est le milieu de AB et F le milieu de BC. Le triangle ADE a une aire de 1 cm². Quelle est l’aire du triangle coloré DEF ?

1 cm²

1,5 cm²

2 cm²

3 cm²

Appelons a le côté du carré. Aire de ADE = a × (a/2) ÷ 2 = a²/4 = 1, donc l’aire du carré vaut a² = 4 cm². On retire au carré les trois triangles blancs : ADE = a²/4 = 1 cm², EBF = (a/2 × a/2) ÷ 2 = a²/8 = 0,5 cm², FCD = (a/2 × a) ÷ 2 = a²/4 = 1 cm². Aire de DEF = 4 − 1 − 0,5 − 1 = 1,5 cm².

6. Le carré a une aire de 4 cm². Le milieu de son côté droit est le centre du cercle, et ses deux coins de gauche touchent le cercle. Combien vaut r ?

2 cm

√5 ≈ 2,24 cm

√8 ≈ 2,83 cm

3 cm

Le carré a une aire de 4 cm², donc un côté de 2 cm. Depuis le centre du cercle (milieu du côté droit), un coin de gauche se trouve à 2 cm vers la gauche et à 1 cm vers le haut. Par le théorème de Pythagore : r² = 2² + 1² = 5, donc r = √5 ≈ 2,24 cm.

7. Le grand cercle a un diamètre de 2 cm. Il contient deux demi-cercles dont les diamètres se rejoignent au centre O. Quelle est l’aire de la zone colorée ?

π/4 ≈ 0,79 cm²

π/2 ≈ 1,57 cm²

3π/4 ≈ 2,36 cm²

π ≈ 3,14 cm²

Le grand cercle a un rayon de 1 cm. La zone colorée correspond à sa moitié haute, à laquelle on retire le petit demi-cercle blanc de gauche et on ajoute le petit demi-cercle coloré de droite. Ces deux petits demi-cercles ont le même diamètre (1 cm), donc la même aire : ils se compensent. Aire colorée = moitié du grand cercle = π × 1² ÷ 2 = π/2 ≈ 1,57 cm².

8. Dans ce carré de 3 cm de côté, deux quarts de cercle de rayon 3 cm sont centrés en A et en B. Le cercle coloré touche le côté AB en son milieu et les deux quarts de cercle. Combien vaut r ?

1 cm

9/8 = 1,125 cm

4/3 ≈ 1,33 cm

1,5 cm

Le centre du cercle se trouve à 1,5 cm de A horizontalement et à r cm du bas. Le cercle touche de l’intérieur le quart de cercle centré en A, donc la distance entre A et son centre vaut 3 − r. Pythagore donne : 1,5² + r² = (3 − r)², soit 2,25 + r² = 9 − 6r + r². Donc 6r = 6,75 et r = 1,125 cm, soit 9/8 cm.

9. Ce rectangle de 24 cm sur 12 cm contient deux cercles identiques et une diagonale. Quelle est l’aire de la zone colorée ?

72 − 18π ≈ 15,5 cm²

144 − 36π ≈ 30,9 cm²

288 − 72π ≈ 61,8 cm²

36π ≈ 113,1 cm²

Chaque cercle a un rayon de 6 cm et une aire de 36π cm². La diagonale coupe le rectangle en deux moitiés de 24 × 12 ÷ 2 = 144 cm². Elle passe par le point de contact des deux cercles, au centre du rectangle : par symétrie, la partie du cercle de gauche située sous la diagonale est égale à la partie du cercle de droite située au-dessus. Sous la diagonale, les cercles occupent donc l’équivalent d’un cercle entier, soit 36π cm². Aire colorée = 144 − 36π ≈ 30,9 cm².

10. Dans ce carré de 8 cm de côté, un cercle est coincé entre un quart de cercle centré en A et un demi-cercle construit sur le côté AD. Combien vaut r ?

1,5 cm

2 cm

2,5 cm

8/3 ≈ 2,67 cm

Plaçons A à l’origine et appelons x la distance horizontale entre A et le centre du cercle, situé à r cm du bas. Le demi-cercle a pour centre le milieu de AD (hauteur 4 cm) et un rayon de 4 cm, et il touche le cercle de l’extérieur : x² + (r − 4)² = (4 + r)², soit x² = 16r. Le quart de cercle a un rayon de 8 cm et touche le cercle de l’intérieur : x² + r² = (8 − r)², soit x² = 64 − 16r. On en déduit 16r = 64 − 16r, donc r = 2 cm.

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