Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie, étudié au collège en France. Il est nommé d’après le philosophe de culture grecque du VIe siècle av. J.-C. Pythagore (Puthagóras, Πυθαγόρας en grec) qui, sans l’avoir découvert, l’aurait formalisé pour la première fois. Plutôt que Pythagore, c’est peut-être son école et ses disciples, installés au sud de la péninsule italienne (dominée à l’époque par la culture grecque, si bien qu’elle était nommée la Grande Grèce), qui ont formalisé ce théorème.
Théorème de Pythagore : formule
Selon le théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Le théorème de Pythagore s’applique aux triangles rectangles uniquement.
- Un triangle rectangle est un triangle qui compte un angle droit, c’est-à-dire un angle de 90°.
- Le carré consiste à multiplier un élément par lui-même. Il est noté avec l’exposant « ² ». Le carré de 2, 2², correspond donc à « 2 × 2 », donc 4.
- L’hypoténuse, du grec upoteinousa, ὑποτείνουσα (littéralement « tenu au-dessous »), désigne le côté du triangle qui fait face à l’angle l’angle droit. C’est aussi le côté le plus long du triangle. Les deux autres côtés sont parfois nommés les « cathètes ».
Pour un triangle rectangle ABC, rectangle en A, le théorème de Pythagore se traduit par la formule :
BC² = AB² + AC²
Exemple avec le théorème de Pythagore
Soit un triangle ABC rectangle en A. On connaît les longueurs des côtés de ce triangle.
AB = 3
cm
AC = 4 cm
BC = 5 cm
BC est l’hypoténuse.
Selon le théorème de Pythagore, le carré de l’hypoténuse de ce triangle, BC, doit être égal à la somme des carrés des deux autres côtés, AB et AC. Donc :
BC² =
AB² + AC²
5² = 3² + 4²
5×5 = 3×3 + 4×4
25 = 9 + 16
25 = 25
Le théorème est vérifié, BC² est bien égal à AB² + AC².
Calculer une longueur avec le théorème de Pythagore
L’égalité présentée par le théorème de Pythagore nous permet de calculer une longueur, qui nous est inconnue, lorsque l’on connaît les deux autres longueurs.
Soit un triangle ABC rectangle en A. BC est l’hypoténuse. On connaît deux longueurs de ce triangle.
BC =
12 cm
AC = 6 cm
Quelle est la longueur de AB ?
BC² =
AB² + AC²
12² = AB² + 6²
144 = AB² + 36
144 – 36 = AB²
108 = AB²
√108 = AB
AB ≈ 10,39
La longueur AB est à peu près égale à 10,39 cm. C’est une valeur approchée : en effet, la racine carrée, notée ci-dessus « √ », nous a donné une valeur complexe, avec de nombreuses décimales (10,3923048454).
Réciproque du théorème de Pythagore
La réciproque désigne, en quelque sorte, l’équivalent du théorème dans l’autre sens. Le théorème de Pythagore nous dit que dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse, le côté face à l’angle droit et le côté le plus long, est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Donc, si l’on prend ce théorème dans l’autre sens, dans un triangle, dont on ne sait pas qu’il est rectangle, montrer que le carré de la longueur du côté le plus long est égal à la somme des carrés des deux autres côtés prouve que ce triangle est rectangle.
La réciproque du théorème de Pythagore est donc : si dans un triangle, le carré de la longueur du côté le plus long est égal à la somme des carrés des deux autres côtés de ce triangle, alors ce côté est l’hypoténuse et le triangle est rectangle.
Exemple
Soit un triangle ABC. Son côté le plus long, BC, mesure 17 cm. Le côté AB mesure 15 cm, le côté AC mesure 8 cm. ABC est-il rectangle ? Si ABC est rectangle, alors :
- BC² = AB² + AC²
- 17² = 15² + 8²
- 289 = 225 + 64
- 289 = 289
La longueur de BC² est bien égale à la somme des longueurs de AB² et AC².
BC est donc bien l’hypoténuse, et ABC est donc un triangle rectangle en A, l’angle opposé à l’hypoténuse.
La contraposée
Une proposition contraposée consiste à affirmer que si A implique B, alors, si la chose n’est pas B, elle n’est pas A. Donc, si BC² n’est pas égal à AB² + AC², le triangle n’est pas rectangle en A.
Cet article est faux, primo le théorème de Pythagore c’est trouver une longueur dans un triangle rectangle, secundo, la réciproque et la contraposé (c’est la même) il faut calculer le carré de l’hypoténuse et les deux autres côté séparément. S’ils ne sont pas égaux et que tu a raison partout, dans les calculs et la rédaction mais que tu met deux élément non égaux, égaux, tu risque de perdre des points.
Bon, côté positifs, c’est pas mal enfin que si t’es encor au collège (la personne qui a écrit l’article) sinon, ça craint.
Je suis d’accord. Mais merci quand même. J’ai mieu compri et c’est très instructif.
Merci