Le théorème de Pythagore & sa réciproque : formule et exemples

Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie, étudié au collège en France.

Il est nommé d’après le philosophe de culture grecque du VIe siècle av. J.-C. Pythagore (Puthagóras, Πυθαγόρας en grec) qui, sans l’avoir découvert, l’aurait formalisé pour la première fois. Plutôt que Pythagore, c’est peut-être son école et ses disciples, installés au sud de la péninsule italienne (dominée à l’époque par la culture grecque, si bien qu’elle était nommée la Grande Grèce), qui ont formalisé ce théorème.

 

Théorème de Pythagore : formule


Selon le théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés

Le théorème de Pythagore s’applique aux triangles rectangles uniquement.

Un triangle rectangle est un triangle qui compte un angle droit, c’est-à-dire un angle de 90°.

Le carré consiste à multiplier un élément par lui-même. Il est noté avec l’exposant « ² ». Le carré de 2, 2², correspond donc à 2×2, donc 4.

L’hypoténuse, du grec upoteinousa, ὑποτείνουσα (littéralement « tenu au-dessous »), désigne le côté du triangle qui fait face à l’angle l’angle droit. C’est aussi le côté le plus long du triangle.

Les deux autres côtés sont parfois nommés les « cathètes ».

Pour un triangle rectangle ABC, rectangle en A, le théorème de Pythagore se traduit par la formule :

BC² = AB² + AC²

 

Exemple


theoreme de pythagore triangle rectangle

Soit un triangle ABC rectangle en A.

On connaît les longueurs des côtés de ce triangle.

AB = 3 cm
AC = 4 cm
BC = 5 cm

BC est l’hypoténuse.

Selon le théorème de Pythagore, le carré de l’hypoténuse de ce triangle, BC, doit être égal à la somme des carrés des deux autres côtés, AB et AC.

Donc :

BC² = AB² + AC²
5² = 3² + 4²
5×5 = 3×3 + 4×4
25 = 9 + 16
25 = 25

Le théorème est vérifié, BC² est bien égal à AB² + AC².

 

Calculer une longueur avec le théorème de Pythagore


theoreme pythagore triangle rectangle exemples

L’égalité présentée par le théorème de Pythagore nous permet de calculer une longueur, qui nous est inconnue, lorsque l’on connaît les deux autres longueurs.

Soit un triangle ABC rectangle en A. BC est l’hypoténuse.

On connaît deux longueurs de ce triangle.

BC = 12 cm
AC = 6 cm

Quelle est la longueur de AB ?

BC² = AB² + AC²
12² = AB² + 6²
144 = AB² + 36
144 – 36 = AB²
108 = AB²
√108 = AB
AB ≈ 10,39

La longueur AB est à peu près égale à 10,39 cm. C’est une valeur approchée : en effet, la racine carrée, notée ci-dessus « √ », nous a donné une valeur complexe, avec de nombreuses décimales (10,3923048454).

 

Réciproque du théorème de Pythagore


La réciproque désigne, en quelque sorte, l’équivalent du théorème dans l’autre sens.

Le théorème de Pythagore nous dit que dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse, le côté face à l’angle droit et le côté le plus long, est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Donc, si l’on prend ce théorème dans l’autre sens, dans un triangle, dont on ne sait pas qu’il est rectangle, montrer que le carré de la longueur du côté le plus long est égal à la somme des carrés des deux autres côtés prouve que ce triangle est rectangle.

La réciproque du théorème de Pythagore est donc : si dans un triangle, le carré de la longueur du côté le plus long est égal à la somme des carrés des deux autres côtés de ce triangle, alors ce côté est l’hypoténuse et le triangle est rectangle.

 

Exemple

Soit un triangle ABC.

Son côté le plus long, BC, mesure 17 cm.

Le côté AB mesure 15 cm, le côté AC mesure 8 cm.

ABC est-il rectangle ?

Si ABC est rectangle, alors :

BC² = AB² + AC²

17² = 15² + 8²

289 = 225 + 64

289 = 289

La longueur de BC² est bien égale à la somme des longueurs de AB² et AC².

BC est donc bien l’hypoténuse, et ABC est donc un triangle rectangle en A, l’angle opposé à l’hypoténuse.

 

La contraposée


Une proposition contraposée consiste à affirmer que si A implique B, alors, si la chose n’est pas B, elle n’est pas A.

Donc, si BC² n’est pas égal à AB² + AC², le triangle n’est pas rectangle en A.

 

Adrian

https://www.laculturegenerale.com

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