Calculer l’aire d’un triangle : méthode et démonstration
Formule du calcul de l’aire d’un triangle
Comment calculer l’aire d’un triangle quelconque ?
Un triangle quelconque est un triangle qui n’est pas rectangle.
L’aire d’un triangle quelconque =
(Base du triangle x hauteur du triangle) / 2
Calculer l’aire d’un triangle, c’est mesurer sa surface. Elle est exprimée en cm², m², etc.
Pour calculer l’aire d’un triangle, il suffit de multiplier la base de ce triangle par sa hauteur.
La base du triangle est un côté du triangle que l’on choisit. Par exemple, si on imagine un triangle ABC, la base peut être le côté AB, le côté BC ou le côté CA. Peu importe.
La hauteur du triangle est une droite perpendiculaire à cette base et qui atteint l’angle opposé à cette base.
Démonstration =
La base triangle ABC est le côté BC. Cette base BC mesure 4 cm.
La hauteur, en rouge, est notée h. Cette hauteur h mesure 6 cm.
L’aire du triangle est donc (BC x h) / 2 = (4 x 6) / 2 = 12.
L’aire du triangle ABC est de 12 cm².
Calcul de l’aire d’un triangle sans hauteur : la formule de Héron
La méthode précédente a un défaut : il faut connaître la mesure de la hauteur.
La formule de Héron permet de calculer l’aire du triangle en connaissant son périmètre. En d’autres termes, il permet de calculer l’aire du triangle en connaissant les mesures des trois côtés.
La formule de Héron =
A² = s(s-ab)(s-bc)(s-ca)
où ab, bc et ca désignent les côtés
où s = ½ p = ½ (a + b + c)
Démonstration =
Soit un triangle ABC.
Le côté AB mesure 3 cm.
Le côté BC mesure 4 cm.
Le côté CA mesure 6 cm.
Le périmètre p = AB + BC + CA = 3 + 4 + 6 = 13 cm.
s = ½ p = ½ 13 = 6,5
Donc l’aire au carré A² = s(s-AB)(s-BC)(s-CA) = 6,5(6,5 – 3)(6,5 – 4)(6,5 – 6) = 6,5(3,5)(2,5)(0,5) = 28,4375
L’aire au carré est donc A² = 28,4375
Il suffit alors de trouver la racine carré de 28,4375 pour obtenir l’aire A.
A = √(28,4375) = 5.3327
L’aire du triangle ABC est de 5.3327 cm².
