Les critères de divisibilité sont des règles qui permettent de déterminer rapidement si un nombre entier (un nombre sans décimale ni fraction) est divisible par tel ou tel chiffre ou nombre. En d’autres termes, ils permettent de savoir si un nombre est le multiple d’un chiffre ou d’un autre nombre. Le résultat de cette division, le quotient (le résultat), doit être lui-même un nombre entier.
0 est divisible par tous les nombres.
Critère de divisibilité par 2 : si le nombre est pair. Cela signifie que le chiffre des unités doit être pair, c’est-à-dire 0, 2, 4, 6 ou 8 (par exemple, le chiffre des unités de 48 est 8).
- Exemple : 48 est une chiffre pair. Il est donc un multiple de 2.
- 48 ÷ 2 = 24
Critère de divisibilité par 3 : la somme des chiffres qui composent le nombre est un multiple de 3 (divisible par 3).
- Exemple : 1962 est un multiple de 3 parce que la somme des chiffres qui composent ce nombre est un multiple de 3.
- 1 + 9 + 6 + 2 = 18
- 18 ÷ 3 = 6.
Critère de divisibilité par 4 : les deux chiffres de droite d’un nombre entier supérieur ou égal à 100 forment un multiple de 4.
- Exemple : 260 est un multiple de 4.
- 60 est en effet un multiple de 4.
- 60 ÷ 4 = 15
Les nombres en 00 sont tous divisibles par 4 (ainsi que par 2, par 5, par 10, par 100).
Critère de divisibilité par 5 : le nombre se termine par 0 ou 5.
- Exemple : 1555 est un multiple de 5.
- 1555 ÷ 5 = 311.
Critère de divisibilité par 6 : le nombre est en même temps un multiple de 2 et de 3.
- Exemple : 198 est un multiple de 6 parce qu’il est divisible par 2 et 3 à la fois.
- 198 est divisible par 2 car c’est un chiffre pair (cela donne 99), et par 3 parce que la somme de 198, qui donne 18, est divisible par 3 (cela donne 6).
Critère de divisibilité par 7 :
➢ Technique 1 : le nombre de dizaines que contient le nombre (672 contient par exemple 67 dizaines) additionné au chiffre des unités multiplié par 5 (le chiffre des unités de 672 est 2) est divisible par 7.
- Exemple : 672 est un multiple de 7.
- Le nombre de dizaines, 67, plus le chiffre des unités multiplié par 5, c’est-à-dire 10 (2 × 5), donne 77.
- 77 ÷ 7 = 11
Cette technique fonctionne plus difficilement avec les grands nombres. La technique 2 est plus adaptée.
➢ Technique 2 : on supprime le dernier chiffre du nombre, puis on soustrait au nombre restant le chiffre supprimé multiplié par 2. On répète l’opération jusqu’à obtenir un nombre à moins de 3 chiffres.
- Exemple : 59 983 est un multiple de 7.
- 59 98
3 - 5998 – 3 × 2 = 5992
- 599
2 - 599 – 2 × 2 = 595
- 59
5 - 59 – 5 × 2 = 49
- 49 ÷ 7 = 7
Critère de divisibilité par 8 :
➢ Technique 1 : un nombre est un multiple de 8 si l’on obtient un nombre entier après trois divisions par 2. Les multiples de 2 sont forcément pairs, et donc ceux de 8 aussi.
- Exemple : 832
est un multiple de 8.
- 832 ÷ 2 = 416
- 416 ÷ 2 = 208
- 208 ÷ 2 = 104
- 832 divisé par 8 est égal à 104.
- Exemple 2 :
666 n’est pas un multiple de 8.
- 666 ÷ 2 = 333
- 333 ÷ 2 = 166,5
- On obtient un nombre à décimale dès la deuxième division.
Cette technique est plus difficile à appliquer pour les grands nombres. La technique 2 permet de pallier ce problème.
➢ Technique 2 : un grand nombre est un multiple de 8 quand ses trois chiffres de droite forment un multiple de 8.
- Exemple : 59 648 est un multiple de 8.
- 648 est en effet un multiple de 8.
- 648 ÷ 2 = 324
- 324 ÷ 2 = 162
- 162 ÷ 2 = 81
- 81 est un nombre entier. Donc 648 est un multiple de 8, et donc 59 648 est un multiple de 8.
Critère de divisibilité par 9 : la somme des chiffres qui composent le nombre est un multiple de 9. Les multiples de 9 sont aussi des multiples 3.
- Exemple 1 :
513 est un multiple de 9.
- 5 + 1 + 3 = 9
- 9 ÷ 9 = 1
- Exemple 2 :
7866 est un multiple de 9.
- 7 + 8 + 6 + 6 = 27
- 27 ÷ 9 =3
Critère de divisibilité par 10 : le nombre se termine par 0 (il est aussi divisible par 2 ou 5).
- Exemple : 160 est un multiple de 10. Il se termine par un 0.
Critère de divisibilité par 11 :
➢ Technique 1 : la somme des chiffres situés aux positions impaires (en partant de la droite) – moins – la somme des chiffres situés aux positions paires, est divisible par 11.
- Exemple 1 :
902 est un multiple de 11.
- La somme des chiffres situés aux positions impaires, 2 (position 1) et 9 (position 3), donne 11.
- Le chiffre pair unique correspond à 0.
- 11 – 0 = 11.
- 11 est bien sûr un multiple de 11.
- Exemple 2 :
594 est un multiple de 11.
- La somme des chiffres situés aux positions impaires, 4 et 5, donne 9.
- Le chiffre pair unique correspond à 9.
- 9 – 9 = 0.
- 0 est divisible par tous les nombres, 594 est donc bien divisible par 11.
➢ Technique 2 : on peut aussi supprimer le dernier chiffre d’un nombre, puis soustraire au nombre restant ce chiffre supprimé, jusqu’à obtenir un nombre à moins de 3 chiffres. Si celui-ci est un multiple de 11, alors le nombre de départ est un multiple de 11.
- Exemple : 10 615 est un multiple de 11.
- 1061 – 5 = 105
6 - 105 – 6 = 99
- 99 est un multiple de 11, donc 10 615 est un multiple de 11.
Critère de divisibilité par 12 : le nombre est en même temps un multiple de 3 et de 4.
- Exemple : 1 028 376 est un multiple de 12.
- La somme des chiffres qui composent le nombre est multiple de
3.
- 1 + 0 + 2 + 8 + 3 + 7 + 6 = 27
- 27 ÷ 3 = 9
- Les deux chiffres de droite forment un nombre multiple de 4.
- 76 ÷ 4 = 19
Critère de divisibilité par 13 : on soustrait et additionne alternativement les nombres trois par trois. Si le résultat est un multiple de 13, alors le nombre de départ est un multiple de 13.
- Exemple 1 : 16
312 257 est un multiple de 13
- 257 – 312 + 16 = -39
- -39 ÷ 3 = -13
- Exemple 2 : 77
230 803 est un multiple de 13.
- 803 – 230 + 77 = 650
- 650 ÷ 13 = 50
Critère de divisibilité par 14 : le nombre est en même temps un multiple de 2 et de 7.
- Exemple : 966 est un multiple de 14.
- C’est un multiple de 2 car il est pair.
- C’est un multiple de 7 car le nombre de dizaines (96) multiplié
par le chiffre des unités multiplié par 5 (6 × 5 = 30) est un
multiple de 7.
- 96 + 6 × 5 = 96 + 30 = 126
- 126 ÷ 7 = 18
Critère de divisibilité par 15 : le nombre est en même temps un multiple de 3 et de 5.
- Exemple : 144 810 est un multiple de 15.
- C’est un multiple de 3 car la somme des trois chiffres de
droites est un multiple de 3.
- 8 + 1 + 0 = 9
- 9 ÷ 3 = 3.
- C’est un multiple de 5 car ce nombre se termine par 0.
Critère de divisibilité par 16 : le nombre issu de 4 division par 2 doit être un nombre entier. Pour les nombres les plus grands, il suffit de prendre les 4 derniers chiffres.
- Exemple 1 :
192 est un multiple de 16.
- 192 ÷ 2 = 96
- 96 ÷ 2 = 48
- 48 ÷ 2 = 24
- 24 ÷ 2 = 12
- Exemple 2 : 1
531 920 est un multiple de 16.
- 1920 ÷ 2 = 960
- 960 ÷ 2 = 480
- 480 ÷ 2 = 240
- 240 ÷ 2 = 120
- Puisque 1920 est un multiple de 16, alors 1 531 920 est un multiple de 16.
Critère de divisibilité par 17 : on supprime le dernier chiffre du nombre, on le multiplie par 5 et on soustrait ce produit du nombre restant. Si le résultat de cette différence est un multiple de 17, alors le nombre de départ est un multiple de 17. Si le nombre est trop grand, on peut répéter l’opération.
- Exemple : 1105 est un multiple de 17
- 110 – 5 × 5 = 85
- 85 ÷ 17 = 5
Critère de divisibilité par 18 : le nombre est pair et la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
- Exemple : 1728 est un multiple de 18.
- 1728 est pair.
- La somme de ses chiffres est un multiple de 9.
- 1 + 7 + 2 + 8 = 18
- 18 ÷ 2 = 9
Critère de divisibilité par 19 : on supprime le dernier chiffre du nombre, on le multiplie par 2 et on additionne ce produit au nombre restant. Si le résultat de cette différence est un multiple de 19, alors le nombre de départ est un multiple de 19. Si le nombre est trop grand, on peut répéter l’opération.
- Exemple : 12388 est un multiple de 19.
- 1238 + 8 × 2 = 1254
- 125 + 4 × 2 = 133
Critère de divisibilité par 20 : les deux derniers chiffres sont des multiples de 20. Les multiples de 20 sont toujours des chiffres ronds.
- Exemple : 13040 est un multiple de 20.
- 40 est un multiple de 20.
Critère de divisibilité par 22 : le nombre est pair, et le résultat de soustractions et additions alternatives doit être un multiple de 11 ou 0.
- Exemple 1 :
1430 est un multiple de 22.
- 1 – 4 + 3 – 0 = 0
- Exemple 2 :
21230 est un multiple 22.
- 2 – 1 + 2 -3 + 0 = 0
- Exemple 3 : 21
680 472 est un multiple de 22
- 2 – 1 + 6 – 8 + 0 – 4 + 7 – 2 = 0
Critère de divisibilité par 25 : les deux chiffres de droite sont 00, 25, 50 ou 75.
- Exemple : 3875 est divisible par 25.
Critère de divisibilité par 100 : les deux chiffres de droite sont 00 (aussi multiples de 2, 5 et 25)
Critère de divisibilité par 125 : les trois chiffres de droite sont un multiple de 125, c’est-à-dire 125, 250, 375, 500, 625, 750 ou 875.
Critère de divisibilité par 1000 : les trois chiffres de droite sont 000 (aussi divisible par 2, 5, 25 et 100).
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