L’ « instant t », employé à la place d' »instant i » qui semble a priori plus logique, vient du fait, selon le Dictionnaire historique de la langue française (Robert), que le terme « instant » est employé en physique, et sert de synonyme à « temps t ». « T » est abréviation pour « temps ». L’instant n’est pas une durée, c’est un point précis du temps.
« I » correspond plutôt à l’intensité.
Voir ici : pourquoi dit-on « allô » au téléphone ?
Cette locution s’est ensuite diffusée dans langue commune pour désigner un moment précis. Elle donne un vernis de scientificité à un discours, ou permet de mieux désigner le moment dont le locuteur parle. Sa diffusion est peut-être due au mathématicien et physicien français Henri Poincaré (1854 – 1912) qui l’utilise dans ses ouvrages destinés au grand public.
Il existe d’autres expressions avec répétition de la première lettre d’un mot après ce mot : le « jour j », calque du d-day anglo-américain qui désigne souvent (D-Day) le jour du débarquement allié en Normandie (6 juin 1944) ou, plus généralement, le jour du début d’une opération militaire importante, et l’« heure h » (assez rare en français), avec la même fonction.
Instant t chez Poincaré
Pour ne pas nous perdre dans cette infinie complexité, faisons une hypothèse plus simple ; considérons trois astres, par exemple, le Soleil, Jupiter et Saturne ; mais, pour plus de simplicité, regardons-les comme réduits à des points matériels et isolés du reste du monde. Les positions et les vitesses des trois corps à un instant donné suffisent pour déterminer leurs positions et leurs vitesses à l’instant suivant, et par conséquent à un instant quelconque. Leur position à l’instant t déterminent leurs positions à l’instant t + h, aussi bien que leurs positions à l’instant t — h.
Que nous enseigne maintenant le principe de moindre action ? Il nous enseigne que pour passer de la situation initiale qu’il occupe à l’instant t0 à la situation finale qu’il occupe à l’instant t1, le système doit prendre un chemin tel que, dans l’intervalle de temps qui s’écoule entre les deux instants t0 et t1 la valeur moyenne de « l’action » (c’est-à-dire de la différence entre les deux énergies T et U) soit aussi petite que possible. Le premier des deux principes est d’ailleurs une conséquence du second.
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